每當引入相位噪聲測試方案時，都會提到時間抖動，經常提到的是兩者都是表征信號短期頻率穩定性的參數，都是頻域和時域的對應參數。如題所示，相位噪聲和時間抖動之間存在一定的關系，那么相位噪聲對應哪種類型的抖動，它們之間有什么樣的數學關系，本文將予以解答。

1.時間抖動與相位噪聲概述

相位噪聲通常針對連續波信號，它是表征信號頻譜純度和測量信號頻率短期穩定性的一個非常重要的參數。相位噪聲是頻域的參數，在時域有對應的參數——隨機抖動，有一定的數學關系，可以相互轉換。

在前一篇關于相位噪聲測試的文章中，給出了IEEE中相位噪聲的早期定義，SONET規范也給出了時間抖動的相應定義：

抖動被定義為數字信號的重要時刻相對于其理想時間位置的短期變化。

抖動的定義中給出了三個要素：

(1)重要情況通常指信號的上升沿或下降沿；

(2)時間上的理想位置，指信號上升沿或下降沿在時間維度上的理想位置；

(3)短期變化，信號實際上升沿或下降沿相對于理想位置的時間偏移的短期波動。

雖然定義中只提到了數字信號，但實際上一般都適用，當然也適用于CW信號。

上面的定義給出了一個綜合的抖動，根據不同的原因機制可以分解成很多不同的抖動成分，包括隨機抖動、周期抖動、數據相關抖動、占空比失真等等。

CW信號可以理解為一種特殊的數字碼流信號，理論上只有隨機抖動和周期性抖動。隨機抖動是寬帶噪聲引起的，周期性抖動是串擾引起的，相當于信號的調頻或調相。

高端光譜儀和專業的相位噪聲測試設備不僅可以發出相位噪聲，還可以測試載波附近的雜散。根據產生機制，可以判斷相位噪聲對應隨機抖動，雜散對應周期性抖動。

下面主要講相位噪聲和隨機抖動的關系，后面提到的抖動，除非另有說明，都視為隨機抖動。

2. 時間抖動與相位噪聲有何關系？

理想的CW信號用公式可以表示為

相位噪聲可以理解為寬帶隨機噪聲對CW信號的相位調制，因此，CW信號的頻譜具有對稱的左右兩個邊帶。

從相位調制的角度看，經寬帶隨機噪聲u(t) 調制后，已調信號可以表示為

式中，k_PM為調相比例系數，u(t) 為寬帶隨機信號，通常可以視為白噪聲信號，相當于由無數個點頻信號疊加而成。

對于u(t) 中包含的任意頻點?_m，對應的調制信號表達式為

下面以頻率為?_m 的信號作為調制信號，從數學的角度推導單邊帶相位噪聲與時間抖動的關系。

對射頻載波調相后，已調信號的表達式為

由調制信號引起的載波信號的瞬時相位定義為

通常稱θ_p 為調相因子，表征了載波信號相位波動的最大偏移，單位為弧度rad.，其表達式為

因此，已調信號又可以寫為

將上式展開為

因寬帶噪聲幅度非常小，對載波信號進行相位調制造成的相位偏移也是非常小的，通常θ_p<<1，則存在如下近似關系：

上式可進一步寫為

理論上，如果使用單頻點信號作為調制信號對射頻載波進行相位調制，已調信號可以展開為第一類貝塞爾函數，從展開式可以看出，頻譜分量非常豐富，而且關于載波頻率左右對稱。而上面的公式表明，卻只有載波、左右邊帶三個頻率分量，這正是因為上面做了一些數學近似。

以右邊帶為例，其信號功率為

載波信號功率為

則在頻偏f_m=?_m/2π 處的單邊帶相位噪聲為

式中，θ_rms為載波信號相位波動的有效值。該公式具有普遍適用性，適用于任意頻偏。

相位噪聲表征單邊帶在一定頻偏下的相對噪聲功率譜密度，從上式可以看出，2rms表征雙邊帶的相對噪聲功率譜密度。

以寬帶隨機噪聲中的任意單頻信號作為調制信號為例，簡述了相位噪聲的形成，寬帶噪聲包含了無數的單頻信號。載波相位調制后，從頻譜角度可以得到左右對稱的兩個邊帶，左右邊帶的頻譜是連續的。

隨機抖動和相位噪聲有什么關系？

時間抖動是指載波信號的上升沿或下降沿在時間軸上的短期波動，隨機抖動是指寬帶噪聲引起的邊沿不規則隨機波動，與相位噪聲一一對應，邊沿的波動是相位噪聲在各個頻偏下的綜合體現。載流子邊緣的隨機漲落有一個漲落范圍。概率密度方面，基本服從高斯分布。通常用標準差來表征隨機抖動，標準差也是隨機抖動的有效值，是需要測試的參數。

時間抖動引起相位波動，所以只要確定了相位波動的量，時間抖動也就確定了。

將各個頻偏處的相位噪聲求和并進一步變換可得

由于相位噪聲的邊帶是連續的，因此，上式可以用積分表示

當然，測試設備是沒有辦法進行積分的，只能對離散的測試數據進行求和來模擬積分的效果。

θ_rms,total 即為由總體的相位噪聲引起的相位波動，結合載波頻率并運用如下公式便可以計算出對應的時間抖動

值得一提的是，上述公式中的相位噪聲不是對數值，而是線性值！而且，根據相位噪聲計算得到的抖動為隨機抖動，換言之，隨機抖動與相位噪聲是一一對應的。

3.如何測試時間抖動？

從今天來看，關注時間波動的信號主要分為兩類：快速邊沿信號和CW信號。前者一般指高速串行總線通信中的比特流信號及其時鐘信號。此類信號通常具有非常快的邊緣和豐富的頻譜成分。后者主要是指射頻載波信號、晶振等單頻信號。這些信號的頻譜相對獨特。

使用示波器是測試時間抖動的最直接方法。您可以直接測試抖動，而無需從相位噪聲中推導出來。適用于上述兩種信號。特別是對于快速邊沿信號，不僅要測試各種抖動成分，還要測試信號的幅度、邊沿時間、眼圖等特征參數，這些都需要用示波器進行測試。

在CW信號的情況下，它基本上只是指隨機波動。如果滿足抖動率要求，則應指明相應的頻偏范圍。中高頻示波器可直接測試隨機抖動，支持積分頻率補償范圍設置，觀察頻率補償范圍內的總隨機抖動。但缺點是示波器自身的本底抖動通常較大，如果CW信號本身的隨機抖動相當于示波器的本底抖動，則無法直接準確測試。

如上所述，可以從相位噪聲推導出隨機抖動，然后可以先測試相位噪聲，然后根據公式計算隨機抖動。設置自動相位噪聲測試選項時，更方便中高頻頻譜分析儀測試相位噪聲和抖動。此外，在隨機抖動可測試性方面，頻譜分析儀本身的抖動本底噪聲要好得多。如果超出頻譜分析儀的測試能力，還可以選擇“專家級”設備——信號源分析儀進行相位噪聲測試，噪聲測試能力更強。優點很明顯，缺點也很明顯，這些頻域設備只能測試頻域相關參數，不能進行時域相關測試！

無論是使用示波器直接測試隨機抖動，還是使用頻譜分析儀等設備先測試相位噪聲再計算隨機抖動，整個測試都非常簡單智能。那么我們應該如何選擇呢？關鍵還是要看儀器自身的測試能力和能力是否滿足要求。